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wieferich primzahl

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Wieferich-Primzahl

Eine Wieferich-Primzahl ist eine spezielle Primzahl p mit der Eigenschaft 2p-1 - 1 ist teilbar durch p2.

Alternativ kann man dies auch mit der modulo-Funktion schreiben als 2p-1 = 1 (mod p2).

Table of contents
1 Bekannte Wieferich-Primzahlen
2 Namensgebung
3 Verwandtschaft mit Fermats letztem Theorem
4 Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen
5 Literatur

Bekannte Wieferich-Primzahlen

Man kennt bisher nur 2 Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (gefunden im Jahr 1913 von W.Meissner) und 3511 (gefunden im Jahr 1922 von N.G.W.H.Beeger). Weitere Wieferich-Primzahlen sind nicht bekannt. Mit Computerhilfe hat man bis Juni 2003 alle Zahlen bis 1,25 · 1015 untersucht ( http://www.cs.dal.ca/~knauer/wieferich/ ).

Namensgebung

Benannt sind diese Primzahlen nach dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich.

Verwandtschaft mit Fermats letztem Theorem

Wieferich beschäftigte sich mit Fermats letztem Theorem. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den folgenden Satz:

Voraussetzung:
Sei xp + yp + zp = 0 wobei x,y,z ganze Zahlen sind und p eine Primzahl ist. Weiterhin sei das Produkt x·y·z nicht teilbar durch p.
Behauptung:
p ist eine Wieferich-Primzahl, d.h. ap-1 - 1 ist teilbar durch p2 mit a = 2.

1910 zeigte der Mathematiker Mirimanoff, dass dieser Satz auch für a = 3 gilt.

Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen

Literatur

  • A. Wieferich, "Zum letzten Fermat'schen Theorem," Journal für Reine Angewandte Math., 136 (1909) 293-302

  • J. H. Silverman, "Wieferich's criterion and the abc-conjecture," Journal Number Theory, 30:2 (1988) 226-237.

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