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wavelet

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Wavelet

Ein Wavelet ist die Basisfunktion der Wavelet-Transformation. Im Gegensatz zu Sinus und Cosinus besitzt ein Wavelet nicht nur Lokalität (eng begrenzter Definitionsbereich) im Frequenzspektrum sondern auch im Zeitbereich. Wavelets haben daher die Form von nach außen hin auslaufenden (kleiner werdenden) Wellen (also "Wellchen" = Wavelet).

Das einfachste Wavelet ist das Haar-Wavelet. In den 1990er Jahren entstand ein regelrechter Wavelet-Boom, ausgelöst durch die Entdeckung von kompakten, differenzierbaren orthogonalen Wavelets durch Ingrid Daubechies, und der Entwicklung schneller Algorithmen für die Wavelet-Transformation mit Hilfe der Multiresolutionsanalyse.

Mittlerweile sind eine grosse Anzahl von verschiedenen Wavelet-Typen bekannt. Wichtige Unterscheidungsmerkmale sind die Trennschärfe in Frequenz und Zeit, deren Produkt immer größer als eine Konstante bleibt (dies entspricht der Heisenbergschen Unschärfe und lässt die Fourier-Transformation als einen Grenzfall mit Zeitauflösung 0 erkennen).

Wavelets sind in ihrer Dimensionalität unbeschränkt und im allgemeinen eher kompliziert aufgebaut, s. diese Wavelet-Grafiken, manche besitzen sogar fraktale Eigenschaften.

Der Zusammenhang zwischen Wavelets und Filtern zur Signalverarbeitung ist recht anschaulich: Ein Wavelet entspricht der Impulsantwort eines Bandpassfilters mit einer gewissen Schärfe in der Zeit (Filterlänge) und in der Frequenz (Bandbreite). Filterlänge und Bandbreite sind umgekehrt proportional, so wird eine "Streckung" des Filters um den Faktor 2 die Bandbreite halbieren.

Dieser Bandpassfilter wird aus einem Hoch- und einem Tiefpass zusammengesetzt, es wird ein Signal aufgeteilt in ein hohes Band und ein tiefes Band. Das tiefe Band wird erneut so behandelt, so dass stets ein Tiefpassfilter in der nächsten Rekursion auf ein Hochpassfilter trifft. Das erste Hochpassergebnis enthält hierbei alle Signale bis zur Nyquist-Frequenz, enthält also wiederum in einem gewissen Sinne ein Frequenzband.

Die Zusatzbedingung der "Perfekten Rekonstruktion" (englisch "Perfect Reconstruction") erlaubt hierbei die offenkundig vorhandene Redundanz (ein Signal => zwei Signale) zu eliminieren. Dann kann jedes zweite Sample jedes Ergebnisses weggelassen werden, ohne dass Daten verloren gehen. Sofort wird ersichtlich dass eine Transformierte nun genausoviele Samples wie das Signal hat, also genausoviel Information enthält.

Die Rekonstruktion wird durch eine weitere Zusatzbedingung erreicht: die Filter kehren ihre Wirkung gegenseitig um, die Koeffizienten(ströme) werden einfach in das jeweils gegensätzliche Filter gespeist und ergeben in der Summe einen weiteren Teil des Signals.

Das eigentliche Wavelet kann nun durch Einsetzen einer 1 für einen einzelnen Koeffizienten durch Rekonstruktion ermittelt werden. Je höher dabei die Stufe der Filterung ist, desto genauer erscheint die Form des Wavelets.

Eine in letzter Zeit aufgekommene Variation sind die so genannten Multiwavelets, die nicht ein Signal, sondern einen Vektor von Signalen gleichzeitig verarbeiten.

Der neue JPEG2000-Standard der Bildkomprimierung beruht auf Wavelets.

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