Surjektivität
Surjektivität (surjektiv) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion.
Sie tritt auf, wenn jedes Element der Wertemenge durch die Funktion abgebildet wird, d.h. jedes Element der Wertemenge hat mindestens ein Urbild.
Eine surjektive Funktion ist also (als Relation gesehen) rechtstotal, und, sofern sie auf ihrem Urbild vollständig definiert ist, auch linkstotal.
Definition
Sei eine Funktion von nach .
ist surjektiv, wenn für alle mindestens ein mit existiert.
(mindestens eins bedeutet eins oder mehr als eins)
Beispiele in unterschiedlicher Darstellungsform
Mengenkastendarstellung.
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Mengenkastendarstellung.
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Mengenkastendarstellung.
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Mengenwolkendarstellung.
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Beispiele und Gegenbeispiele
Die Funktion f: R ? R mit
-
ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl y finden wir (mindestens) ein Urbild: Wir lösen die Gleichung nach x auf und erhalten
- .
Dieses Berechnen von x reicht aber im allgemeinen nicht als Beweis. Man muss die Probe machen: In der Tat ist
- .
Die Sinus-Funktion sin: R ? [-1, 1] ist surjektiv. Jede horizontale Gerade y = y0 mit -1 ? y0 ? 1 hat unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graph der Funktion.
Die Sinus-Funktion sin: R ? R ist jedoch nicht surjektiv, da z.B. die Gerade y = 2 keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat.
Vergleich
Injektivität, Bijektivität
