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students t verteilung

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Students t-Verteilung

Students t-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und wurde 1908 von William Sealey Gosset (Pseudonym Student) entwickelt. Er hatte festgestellt, dass standardisierte normalverteilte Daten nicht mehr normalverteilt sind, wenn die Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz geschätzt werden muss. Man könnte also die t-Verteilung gewissermaßen als "Designerverteilung" bezeichnen.

Table of contents
1 Definition
2 Parameter
3 Skizze
4 Nichtzentrale t-Verteilung
5 Näherung durch die Normalverteilung

Definition

Die t-Verteilung beschreibt die Verteilung eines Ausdruckes

wobei N(0,1) eine standardnormalverteilte Zufallsvariable bedeutet und eine ?²-verteilte mit m Freiheitsgraden. Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist symmetrisch bezüglich ihres Erwartungswertes. Die Werte der Verteilungsfunktion können nicht analytisch berechnet werden und liegen in der Regel tabelliert vor.

Beispielsweise ist die Prüfgröße für den statistischen Test H0: ? = ?0 des Erwartungswertes einer normalverteilten Zufallsvariablen mit unbekannter Varianz

t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden.

Parameter

Median
Modus
Erwartungswert:

Varianz:

Schiefe:

Wölbung:

Skizze

Eine Skizze der t-Verteilung erhalten Sie in GNU R mit dem verschachtelten Befehl

hist(sort(rt(1000,m)),breaks=seq(-100,100,.01))

Beachten Sie, dass

Nichtzentrale t-Verteilung

Ist der Zähler der t-verteilten Zufallsvariablen normalverteilt mit einem Erwartungswert ? ? 0, handelt es sich um eine so genannte nichtzentrale t-Verteilung mit dem Nichtzentralitätsparameter ?. Diese Verteilung wird vor allem zur Bestimmung des ?-Fehlers bei Hypothesentests mit t-verteilter Prüfgröße verwendet.

Näherung durch die Normalverteilung

Ab dreißig Freiheitsgraden kann anstelle der t-Verteilung näherungsweise die Standardnormalverteilung verwendet werden.

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