Stochastischer Prozess
Stochastische Prozesse sind zeitliche Vorgänge, die in jedem Zeitpunkt durch zufällige Schwankungen beeinflusst werden.
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2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Weblinks |
Die formale Definition lässt sich wie folgt formulieren. Ein stochastischer Prozess ist eine Familie von Zufallsvariablen . Dabei ist und . Der stochastische Prozess ist dabei definiert für einen Wahrscheinlichkeitsraum . Die Indexmenge bzw. der Parameterraum ist beliebig, aber nicht zufällig. Er kann abzählbar viele Elemente enthalten (diskreter Prozess) oder überabzählbar viele Elemente (stetiger Prozess). Die Realisationsmenge von bildet den Zustandsraum des Prozesses. Wenn der Zustandsraum abzählbar ist, spricht man von einem Punktprozess, ist er überabzählbar, von einem Diffusionsprozess.
Über die Momente erster und zweiter Ordnung des Prozesses lassen sich Aussagen hinsichtlich der Stationaritätseigenschaften ableiten. Ein stochastischer Prozess ist
Der stochastische Prozess ist dadurch gegekennzeichnet, dass an jeder Stelle t der Zeitreihe eine Zufallsvariable vorliegt. Ein typisches Beispiel hierfür ist der Münzwurf. Es sei angenommen, dass ein Spieler im Zeitpunkt t=0 ein Startkapital vom 10 Euro hat. Bei jedem Wurf einer Münze gewinnt er einen Euro, falls "Zahl" erscheint, oder er verliert einen Euro, falls "Kopf" erscheint. Handelt es sich bei der verwendeten Münze um eine "faire" Münze, so ist die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" und "Zahl" gleich und zwar 0,5. Stellt man den jeweiligen "Kontostand" des Spielers nach jedem Münzwurf graphisch dar, so ergibt sich ein stochastischer Verlauf.
Der sogenannte reine Zufallsprozess oder auch Weißes Rauschen genannt, ist eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen. Ist die Variable Bernoulli-verteilt spricht man von einem Bernoulli-Prozess, ist die Variable normalverteilt, von einem Gauss-Prozess. Ein weiterer Vertreter der stochastischen Vertreter ist der Random Walk. Dieser ist ein diskreter Prozess mit stationär unabhängigen Zuwächsen.
Weitere Typen stochastischer Prozesse: Brownsche Bewegung, Wiener-Prozess, Markov-Prozess, lineare stochastische Prozesse.Definition
Eigenschaften
Beispiele