Spatprodukt

Das Spatprodukt dreier Vektoren ist die Größe des orientierten Volumens des Spatss der durch die drei Vektoren aufgespannt wird. Unter orientiertem Volumen versteht man dabei das Volumen multipliziert mit dem Faktor +1, falls die Vektoren ein rechtshändiges Koordinatensystem bilden, und -1, falls sie ein linkshändiges Koordinatensystem bilden.

Das Spatprodukt ist gegeben durch:

Das Spatprodukt ergibt genau dann 0, wenn die Vektoren komplanar beziehungsweise linear abhängig sind. (Vereinfacht gesagt: Wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen, ist der Flächeninhalt des aufgespannten Spates offenbar 0. Sie sind dann linear abhängig, anschaulich lässt sich einer der Vektoren als Linearkombination der beiden anderen darstellen.)

Wegen der Kommutativität des Skalarprodukts gilt

,

man kann also gewissermaßen bei entsprechend angepasster Klammerung (die anders übrigens unsinnig wäre) die beiden Rechenzeichen "vertauschen". Aus diesem Grund findet man auch Notierungen des Spatprodukts, bei denen die Rechenzeichen einfach weggelassen sind:

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Geometrische Herleitung

Das Volumen eines Spats errechnet sich aus dem Produkt seiner Grundfläche und seiner Höhe.

Bekanntlich ist das Kreuzprodukt genau der Normalenvektor auf der durch a und b aufgespannten Grundfläche, dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt dieser Fläche ist, also .

Die Höhe des Spats ist die Projektion des Vektors c auf die Richtung dieses Normalenvektors (dessen Einheitsvektor). Wenn diese den Winkel ? einschließen, gilt nach der Definition des Skalarprodukts

.

Es folgt

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