Signaltheorie

Die Signaltheorie beschäftigt sich mit der Übertragung von Signalen über verschiedene physikalische Medien und untersucht den Einfluss, den diese Medien und die Umwelt auf die Signale ausüben. Dazu wird derzeit vor allem elektrischer Strom genutzt, so dass die Signaltheorie meist als Teilgebiet der Elektrotechnik angesehen wird. Viele signaltheoretische Konzepte gelten aber auch bei Verwendung anderer Informationsträger wie beispielsweise Licht (Optische Signalübertragung).

Table of contents

1 Signale 2 Systeme 3 Mathematische Hilfsmittel

Signale

Zur Datenübertragung werden die Rohdaten in eine Form umgewandelt, die über das gewählte Transportmedium geschickt werden kann. Das kann analog geschehen, indem z.B. der von einem Mikrofon erzeugte Strom direkt über ein Kabel zum Verstärker übertragen wird, oder digital, wobei die Daten erst abgetastet und in diskrete (häufig binär codierte) Werte umgesetzt werden, die dann als Stromstöße oder unterschiedlich hohe Töne über das Medium geschickt werden.

Die sich daraus ergebenden Signale werden nach verschiedenen Gesichtspunkten klassifiziert, so unterscheidet man periodische (sich in regelmäßigen Abständen wiederholende) und nichtperiodische Signale oder Leistungssignale (mit einer endlichen elektrischen Leistung und (rechnerisch) unendlicher Energie) und Energiesignale (mit einer endlichen Energie und ohne übertragene Leistung). Bei Signalen, die konkrete Daten repräsentieren, unterscheidet man in der Praxis auch je nach verwendeter Codierung zwischen RZ- und NRZ-Signalen.

Zur Systemanalyse können einige spezielle Signale verwendet werden, die z.T. praktisch nicht oder nur in grober Näherung realisiert werden können, wie die Sprungfunktion oder die Dirac-Funktion.

Systeme

Werden so erzeugte Signale über einen Leiter übertragen, wirkt dieser mit seinem Ohmschen Widerstand, seiner Kapazität und seiner Induktivität auf das Signal ein, so dass es sich durch die Übertragung verändert. Gerade in modernen miniaturisierten Schaltungen können auch Signale auf benachbarten Leitungen durch Übersprechen das Signal verändern. Die mathematische Beschreibung dieser Vorgänge ist ebenfalls Gegenstand der Signaltheorie. Dabei betrachtet man ganz allgemein Zweipole, das heisst Systeme mit zwei Anschlüssen, an die man ein Eingangssignal anlegt und an deren Ausgang man ein (i.d.R. verändertes) Ausgangssignal erhält.

Alle für die Signalübetragung relevanten Eigenschaften eines beliebigen Zweipols, sei es ein einfacher Draht oder ein Netzwerk verschiedener Bauelemente, können durch die Betrachtung zweier spezieller Ausgangssignale ermittelt werden: Der Sprungantwort und der Impulsantwort. Die Sprungantwort ist das Ausgangssignal, das ein System liefert, wenn es als Eingangssignal die Sprungfunktion erhält. Die Impulsantwort ist die Systemantwort auf den Dirac-Impuls.

Entsprechend ihrer Eigenschaften unterscheidet man folgende Systemarten:

• Bei linearen Systemen ist das Ausgangssignal proportional zum Eingangssignal, bei nichtliniearen Systemen nicht.
• Bei kausalen Systemen kann man erst dann eine Systemreaktion am Ausgang feststellen, wenn ein Eingangssignal angelegt wird (nichtkausale Systeme, bei denen die Reaktion vor der Erregung eintritt, sind nicht realisierbar, sondern können nur als mathematisches Modell betrachtet werden).
• Zeitinvariante Systeme ändern ihre Eigenschaften (zumindest während der betrachteten Zeitspanne) nicht. Wird dasselbe Eingangssignal wiederholt angelegt, erhält man immer dieselbe Systemreaktion.

Für die Praxis von besonderer Bedeutung sind also lineare zeitinvariante Systeme oder LTI-Systeme (LTI: linear time invariant). Dass die Systeme kausal sein sollen, wird nicht ausdrücklich gefordert, da alle realen Systeme zeitlich kausal sind. Die meisten elektronischen Standardschaltungen aus Widerständen, Kondensatoren, Spulen und Transistoren stellen näherungsweise LTI-Systeme dar.

Mathematische Hilfsmittel

• Signale werden zur Analyse meist als Funktionen ausgedrückt, die die Signalamplitude in Abhängigkeit zur Zeit beschreiben.
• Mit Differentialgleichungen können die Eigenschaften von Leitungen modelliert werden.
• Periodische Signale können mittels der Fourier-Reihendarstellung als Summe mehrerer harmonischer Signale dargestellt werden.
• Die Fouriertransformation ermöglicht die Analyse von Signalspektren.
• Die Faltung erlaubt die Berechnung des Ausgangssignals eines Systems mit bekannter Impulsantwort für beliebige Eingangssignale.