Schaltalgebra
Die Schaltalgebra ist eine Gleichungslehre, die auf Schaltanordnungen zugeschnitten ist. Die Zusammenhänge zwischen den Zuständen der Schalter im Innern einer Schaltanordnung, den Inputs (Schaltbefehlen) und den Outputs ( Schaltzuständen an den Ausgängen) werden durch diese Gleichungen beschrieben.Während die Schaltalgebra früher hauptsächlich für die Relais-Technik bzw. ähnliche elektromechanische Schaltanordnungen benutzt wurde, dient sie heute überwiegend dem Aufbau elektrischer bzw. elektronischer logischer Verknüpfungen. Sie ist ein Hilfsmittel zur Berechnung binärer Schaltnetze und Schaltwerke. Der Begriff "binär" lässt sich mit zweiwertig übersetzen: es gibt bei der Schaltalgebra nur zwei Zustände: Null-Aus und Eins-Ein.
Die Schaltalgebra wurde aus der theoretischen Logik entwickelt. Der englische Mathematiker George Boole (1815-1864) entwickelte eine Theorie zur Behandlung zweiwertiger Aussagen. Man nennt sie daher die Boolesche Algebra.
Es gelten hier wie in der gewöhnlichen Algebra auch das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz. Hat man eine konkrete Aufgabenstellung durch eine bestimmte Schaltungsanordnung gelöst und durch Gleichungen der Schaltalgebra beschrieben, lassen sich durch Anwendung dieser Gesetze oft wesentliche Vereinfachungen finden.
Es gibt vier Grundformen logischer Verknüpfungen, mit denen alle anderen logischen Verknüpfungen aufgebaut werden können. Der Einfachheit halber werden die Verknüpfungen hier nur mit zwei Eingängen beschrieben. Es sind natürlich beliebig viele möglich.
Eingänge werden mit "E", Ausgänge mit "A" bezeichnet und durchnummeriert.
E=1 -> A=1
E=0 -> A=0
E=1 -> A=0
E=0 -> A=1
E1=1 >= E2=1 -> A=1
E1=1 >= E2=0 -> A=1
E1=0 >= E2=1 -> A=1
E1=0 >= E2=0 -> A=0
E1=1 & E2=1 -> A=1
E1=1 & E2=0 -> A=0
E1=0 & E2=1 -> A=0
E1=0 & E2=0 -> A=0
E1=1 > E2=1 -> A=0
E1=1 > E2=0 -> A=1
E1=0 > E2=1 -> A=1
E1=0 > E2=0 -> A=0
Die "und-nicht"-Verknüpfung alleine würde außerdem genügen, um alle anderen Verknüpfungen einschließlich der Grundverknüpfungen zu erzeugen. Dasselbe gilt für die "oder-nicht"-Verknüpfung.
Durch die Schaltalgebra lassen sich die Aufbauten von elektronischen Verknüpfungen hervorragend darstellen und mit Hilfe der Mathematik vereinfachen oder an die Gegebenheiten bereits vorhandener Schaltungen anpassen.
Prinzipiell liesse sich ein gesamter Computer mit Hilfe dieser Symbolik und dieser wenigen Grundfunktionen zusammen mit Funktionen zur zeitlichen Verzögerung darstellen.
Siehe auch: Boolesche AlgebraJa-Verknüpfung: Verstärker
Symbol: 1
Tabelle:E A
0 0
1 1
in Algebra:E 1 = A
Nein-Verknüpfung: Negierer
_
Symbol: 1
Tabelle:E A
0 1
1 0
in Algebra:
_ _
E 1 = A
Oder-Verknüpfung (OR)
Symbol >=
Tabelle:E1 E2 A
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 1
in Algebra:E1 + E2 = A
Und-Verknüpfung (AND)
Symbol: &
Tabelle:E1 E2 A
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1 1 1
in Algebra:E1 * E2 = A
Alle höheren Verknüpfungen lassen sich durch Verschachteln mehrerer der Grundverknüpfungen erzeugen."und-nicht"-Verknüpfung (NAND)
_
Symbol: &
_
E1=1 & E1=1 -> A=0
_
E1=1 & E1=0 -> A=1
_
E1=0 & E1=1 -> A=1
_
E1=0 & E1=0 -> A=1Tabelle:E1 E2 A
0 0 1
1 0 1
0 1 1
1 1 0
in Algebra:_______
E1 * E2 = A
oder: _
E1 * E2 = A
oder: _
E1 * E2 = A
oder:__ __
E1 + E2 = A (siehe auch De Morgansche Regeln)
Wie man sieht führen alle Varianten zum selben Ergebnis."Exklusiv-oder" -Verknüpfung (EXOR, XOR)
Symbol: >
Tabelle:E1 E2 A
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 0
In Algebra:__ __
E1 * E2 + E1 * E2 = A
Eigenschaften