Quantenverschränkung
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Der Doppeleintrag befindet sich unter: Quantenkorrelation -- 14:57, 7. Jul 2004 (CEST)
Quantenverschränkung ist ein quantenmechanisches Phänomen. Dabei müssen die Zustände von zwei oder mehr Teilchen in Abhängigkeit von den anderen beschrieben werden, auch wenn die Teilchen räumlich getrennt sind. Dies führt zu stärkeren Beziehungen zwischen den physikalischen Eigenschaften (Observablen) der Systeme, als sie von der klassischen Physik bekannt sind. Eine Messung an einem der Systeme kann daher als Beeinflussung der anderen, verschränkten Systeme interpretiert werden. (Eine gegensätzliche Ansicht wird unter dem Paralleleintrag Verschränkung vertreten.)
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2 Mathematik |
Auf der anderen Seite konnten die Vorhersagen der Quantenmechanik höchst erfolgreich experimentell belegt werden, sogar Einsteins "spukhafte Fernwirkung" wurde beobachtet. Viele Wissenschaftler führten dies auf unbekannte, deterministische "verborgene Variablen" zurück, die dem lokalen Realismus unterworfen seien, aber die Quantenphänomene erklären könnten.
1964 zeigte John Bell, dass die Effekte der Quantenverschränkung experimentell von den Ergebnissen der auf verborgenen Variablen basierenden Theorien unterschieden werden konnten (siehe Bell'sche Ungleichungen). Seine Ergebnisse wurden durch weitere Experimente bestätigt, so dass die Quantenverschränkung heute weitestgehend als physikalisches Phänomen anerkannt ist.
Wenn auch nicht ihrem Geiste, so gehorcht die Verschränkung doch den Buchstaben der Relativitätstheorie. Zwar können verschränkte Systeme auch über große räumliche Entfernung miteinander wechselwirken. Dabei kann aber keine Information übertragen werden, so dass die Kausalität nicht verletzt ist.
Dafür gibt es zwei Gründe:
Die folgende Diskussion setzt Kenntnisse in der Bra-Ket-Notation und der allgemeinen mathematischen Formulierung der Quantenmechanik voraus.
Es seien zwei System A und B mit den Hilberträumen HA und HB gegeben. Der Hilbertraum des zusammengesetzten Systems ist HA × HB.
Das System A sei im Zustand |??A und System B im Zustand
|??B. Dann ist der Zustand des zusammengesetzten Systems gegeben durch
Man nehme Observablen (und entsprechende Hermite'sche Operatoren
?A auf HA und ?B auf HB.
Nach dem Spektraltheorem kann man eine aus den Eigenvektoren von ?A zusammengesetzte Basis {|i?A} für HA und eine Basis {|j?B} für HB aus den Eigenvektoren von ?B finden. Dann kann man den reinen Zustand schreiben als
Zum Beispiel seien zwei Basisvektoren {|0?A, |1?A} von HA und zwei Basisvektoren {|0?B, |1?B} von HB gegeben. Dann ist ein verschränkter Zustand
Man nehme an, Alice beobachte System A, Bob System B. Wenn Alice die Messung ?A durchführt, können mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Ergebnisse auftreten:
Das Ergebnis von Alices Messung ist zufällig, sie kann nicht den Zustand bestimmen, in den das System kollabiert, und kann daher durch Handlungen an ihrem System keine Informationen zu Bob übertragen. Eine mögliche Hintertür: Sollte Bob mehrere exakte Duplikate der Zustände machen können, die er empfängt, könnte er auf statistischem Weg Informationen sammeln - das No-Cloning-Theorem verbietet aber das Klonen von Zuständen.
Daher wird, wie oben erwähnt, die Kausalität nicht verletzt.
Die Quantifizierung der Quantenverschränkung ist eine wichtige Voraussetzung für das Verständnis des Phänomens. Mithilfe von Dichtematrizen kann die Verschränkung formal gemessen werden.
Sei der Zustand eine zusammengesetzten Systems|??. Der Projektionsoperator ist
Mit einer allgemeinen Dichtematrix ? kann die Quantität berechnet werden mit
Die Entropie jedes reinen Zustands ist offensichtlich Null, denn es herrscht ja keine Unsicherheit über den Zustand des Systems. Die Entropie jeder zwei Untersysteme des verschränkten Zustands ist kln 2 .
Wenn das Gesamtsystem rein ist, kann die Entropie der Untersysteme zur Messung des Grades der Verschränkung mit anderen Untersystem benutzt werden.
Man kann zeigen, dass unitäre Operatoren angewendet auf einen Zustand (wie der aus der Schrödinger-Gleichung gewonnene Zeitentwicklungsoperator) die Entropie des System nicht ändern. Das verbindet die Reversibilität eines Prozesses mit seiner Entropieänderung - ein fundamentales Ergebnis, das die Quantenmechanik mit der Informationstheorie und der Thermodynamik verbindet.Überblick
Geschichte
Die Verschränkung gehört wohl zu den Konsequenzen der Quantenmechanik, die den den meisten Widerstand gegen die Theorie Quantenmechanik als solche erzeugten. Einstein, Podolski und Rosen formulierten 1935 das
EPR-Paradoxon, nach dem Quantenverschränkung zur Verletzung des klassischen Prinzips des lokalen Realismus führen würde, was von Einstein in einem berühmten Zitat als "spukhafte Fernwirkung" betitelt wurde.Informationsübertragung
Zwar ist Informationsübertragung durch Verschränkung allein nicht möglich, wohl aber mit mehreren verschränkten Zuständen zusammen mit einem klassischen Informationskanal (Quantenteleportation). Trotz des Namens können wegen des klassischen Informationskanals keine Informationen schneller als das Licht übertragen werden.Zukunft
Heute können wir einige wichtige Eigenschaften des Phänomens der Quantenverschränkung verstehen, dennoch wird weiterhin aktiv in diesem Gebiet geforscht. Es ist dabei die Grundlage für Zukunftstechnologien wie Quantenkryptographie und Quantencomputer.Mathematik
Formalismus
Es ist ein reiner Zustand.
für die komplexen Koeffizienten ai und bj.
Das ist der allgemeinste Zustand von HA×HB mit der Form
Wenn ein solcher Zustand nicht in Form eines getrennten Zustands faktorisiert werden kann, nennt man ihn verschränkter Zustand.
Wenn das zusammengesetzte System in diesem Zustand ist, haben weder A noch B einen bestimmten Zustand, sondern ihre Zustände sind überlagert. In diesem Sinne sind die Systeme verschränkt.
Im ersten Fall wird jede weitere Messung ?B durch Bob immer 1 ergeben, im zweiten Fall immer 0. Also wurde das System durch die von Alice durchgeführte Messung verändert, auch wenn A und B räumlich getrennt sind.
Hier liegt das EPR-Paradoxon begründet.Entropie
Die Dichtematrix des System A, ein linearer Operator in Hilbertraum von A, ist definiert als die Spur von ?T über der Basis von B:
Die Dichtematrix des oben besprochenen System ist zum Beispiel
und die Dichtematrix für den oben erwähnten reinen Zustand ist
Es ist einfach ein Projektionsoperator auf |??A.
Auch die Dichtematrix des zusammengesetzten System hat diese Form, denn schließlich ist nach Voraussetzung der Zustand dieses Systems ein reiner.
wobei k die Boltzmannkonstante ist, und die Spur über dem Raum H genommen ist, in dem ? operiert. Tatsächlich ist S genau die Entropie des zu H gehörenden Systems.