Quadratische Ergänzung

Die Quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen einer Variable mit Quadrat in ein Binom. Dieses Verfahren kann zum Lösen von Quadratischen Gleichungen verwendet werden oder zur Bestimmung des Scheitels von quadratischen Funktionen.

Beispiel zur Lösung einer quadratischen Gleichung

Idee dieses Verfahrens ist, die Gleichung zunächst in ihre Normalform zu überführen und diese dann zu lösen, indem das in ihr enthaltene quadratische Binom gesucht wird. Hierbei sind die allgemeinen Regeln zum Lösen von Gleichungen zu beachten.

Die Gleichung

2·x² - 6·x + 1 = 9

wird zunächst durch Subtraktion von 9 und Division durch 2 überführt in

x² - 3·x - 4 = 0.

Das ist die Normalform. Und so geht es weiter:

x² - 3·x - 4	= 0	+ 4
x² - 3·x	= 4	+ (-3/2)²	Das Quadrat der Hälfte des linearen Gliedes addieren.
x² - 3·x + 2,25	= 6,25		Ausklammern mittels binomischer Formel.
(x - 1,5)²	= 2,5²		Wurzel ziehen. (x=+1,5 und y=2,5² sind die Koordinaten des Scheitelpunkts der Funktion)
|x - 1,5|	= 2,5		(Die Wurzel einer Quadratzahl ist positiv. Daher muss der linke Ausdruck als Betrag dargestellt werden, denn x ist uns unbekannt.)

Es ergeben sich die beiden Lösungen:

(x - 1,5) > 0:      x - 1,5 = 2,5
	=> x1 = 2,5 + 1,5 = 4
(x - 1,5) < 0:      -x + 1,5 = 2,5
	=> x2 = -2,5 + 1,5 = -1

Allgemeine Lösung (pq- Formel)

Statt obige Schritte für jede neue Aufgabe neu zu rechnen, können sie einmal formal durchgeführt werden. So ergibt sich eine Formel (Schüler nennen sie pq-Formel), in die dann jeweils nur die neuen Zahlen eingesetzt werden müssen.

Aus der Gleichung

folgt mit denselben Umformungen wie oben:

Damit ergibt sich die Lösungsformel, die auch pq-Formel genannt wird:

Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form

(die abc-Formel) findet sich im Artikel Quadratische Gleichung.