Metrischer Tensor der Ebene

Das folgende Beispiel definiert den Metrischen Tensor der Ebene und zeigt, wie hiermit Abstände in der Ebene berechnet werden können. Etwas kompliziertere Verhältnisse hat man beim Metrischen Tensor der Speziellen Relativitätstheorie.

Die Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie und die Ebene werden auch als flach bezeichnet.

Im Prinzip kann man in Ebenen und flachen Räumen auf die Verwendung von Differentialen zur Abstandsberechnung verzichten, sie dienen hier nur zur Motivation der analogen Beschreibung in krummlinigen Strukturen.

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Gegeben seien zwei Punkte und in der Ebene, mit folgenden Koordinatendarstellungen

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Das Quadrat des Abstandes zwischen den Punkten ist definiert als

Definition:

Für d werde im folgenden der Term ds verwendet, dann erhält man folgende Gleichung für das Quadrat des Abstandes:

Der Metrische Tensor der Ebene wird nun folgendermaßen definiert:

Mit den vorgenommenen Definition läßt sich folgendermaßen schreiben:

dabei wird über alle vorkommenden Werte der Indizes i,k summiert:

Damit wurde gezeigt, wie mit dem Metrischen Tensor der Ebene Abstände in der Ebene ausgedrückt werden können. beschreiben in dieser Darstellung Differenzen, will man z.B. Abstände auf der Kugeloberfläche beschreiben so gelten dieser Formeln nur für "sehr nahe beieinanderliegenden Punkten", man geht über zu Differentialen.

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