Metrischer Raum
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Eine Metrik ist in der Mathematik eine Funktion, die je zwei Punkten eines Raums einen reellen Wert zuordnet, der als Abstand der beiden Punkte voneinander aufgefasst werden kann.
Ein Raum ist eine Menge, deren Elemente in geometrischer Interpretation als Punkte aufgefasst werden. Ein metrischer Raum ist ein Raum, auf dem eine Metrik definiert ist. Ein metrischer Raum ist ein topologischer Raum mit der durch die Metrik induzierten Topologie; ein metrisierbarer Raum ist ein topologischer Raum, dessen Topologie durch eine Metrik induziert sein könnte.
Zu anderen Wortbedeutungen siehe die Begriffsklärungsseite Metrik. Manchmal werden, entgegen dem Sprachgebrauch der Mathematik, auch Distanzfunktionen als Metriken bezeichnet.
Aufgrund ihrer Transformationseigenschaften ist eine Metrik ein kovarianter Tensor zweiter Stufe; diese Sichtweise ermöglicht es in der Differentialgeometrie, eine Metrik nicht nur über Vektorräumen, sondern auch über Mannigfaltigkeiten zu definieren. Siehe dazu den Artikel metrischer Tensor.
Sei X eine beliebige Menge. Eine Abbildung d: X × X ? R heißt Metrik, wenn für beliebige Elemente x, y und z von X die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:
Zur Erläuterung:
Eine Abbildung, welche die Metrik erhält, heißt Isometrie. Figuren, die von einer Isometrie aufeinander abgebildet werden können, heißen kongruent zueinander.
Jede Norm auf einem Vektorraum definiert eine Metrik durch die Gleichung
Eine Metrik, die aus einer p-Norm (siehe dazu den Artikel normierter Raum) abgeleitet ist, heißt auch Minkowski-Metrik. Wichtige Spezialfälle sind
Aus einer p-Norm abgeleitet sind zum Beispiel die Metriken der folgenden wichtigen Räume:
Als eine Fréchet-Metrik wird gelegentlich eine Metrik
Metriken geben einem Raum eine globale und eine lokale Struktur. Die globale Struktur kommt in geometrischen Eigenschaften wie der Kongruenz von Figuren zum Ausdruck. Die lokale metrische Struktur, also die Definition kleiner Abstände, ermöglicht unter bestimmten zusätzlichen Voraussetzungen die Einführung von Differentialoperationen.
Die verschiedenen topologischen Räume verallgemeinern die möglichen lokalen Struktur metrischer Räume.
Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird (siehe dazu Umgebung). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.
Ein topologischer Raum heißt metrisierbar, wenn eine Metrik existiert, die mit der gegebenen Topologie verträglich ist, also von der Metrik induziert sein könnte.
Ein vollständiger metrischer Raum ist ein metrischer Raum, in dem jede Cauchyfolge konvergiert. Siehe dazu den ausführlichen Artikel vollständiger Raum. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum. Ein Banachraum, dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist, heißt Hilbertraum.Formale Definition
Das Paar (X, d) ist dann ein metrischer Raum. In der Praxis bezeichnet man zumeist X allein als den metrischen Raum, wenn aus dem Kontext klar ist, dass in diesem Raum die Metrik d gilt.
Oft wird zusätzlich zu den hier gegebenen Axiomen noch die Forderung
gestellt. Diese folgt aber aus den Axiomen (i), (iii) und (iv) (letzteres mit x=y); sie kann daher wegglassen werden.Beispiele: durch Normen erzeugte Metriken
Somit ist jeder normierte Vektorraum (und erst recht jeder Innenproduktraum, jeder Banachraum, jeder Hilbertraum) ein metrischer Raum.
Weitere Beispiele für Normen (und damit auch für Metriken) finden sich in den Artikeln Matrixnorm, Funktionenraum.
d(x, y) = |x-y|;
||(x1, x2, ..., xn)|| = (x12 + x22 + ... + xn2)1/2;
bezeichnet, die von einer Funktion ? induziert wird, welche die meisten Eigenschaften einer Norm besitzt, aber nicht homogen ist.Beispiele: nicht durch Normen erzeugte Metriken
Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen