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indexdarstellungen der relativita tstheorie

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Indexdarstellungen der Relativitätstheorie

Beschäftigt man sich mit klassischen Lehrbüchern der Allgemeinen Relativitätstheorie, so bemerkt man vor allem eine Vielzahl hoch und tiefgestellter Indizes in den verwendeten Formeln. Hiermit zusammen hängt die kovariante und kontravariante Darstellung physikalischer Größen.

Beispiel einer kontravarianten Größe ist der Ortsvektor , kontravariante Größen erkennt man oft an hochgestellten Indizes.

Dementsprechend wird durch eine kovariante Größe dargestellt.

In Bezug auf den Ortsvektor stellt eine Abbildung dar, die den Ortsvektor auf eine reelle Zahl abbildet. Man schreibt diese Abbildung in der Form

unter Verwendung der Einsteinschenschen Summationskonvention, dass über gleich benannte Indizes summiert wird, wenn der eine unten und der andere oben steht.

Der Vektor wurde bereits durch die Kartesischen Koordinaten x,y,z und die Zeitkoordinate ct ausgedrückt.

Der entsprechende kovariante Vektor lautet in diesen Koordinaten:

=(ct,-x,-y,-z)

Hieraus folgt:

Die Darstellung von läßt sich aus der Darstellung für gemäß den Konventionen der Relativitätstheorie folgendermaßen herleiten:

d.h. man verwendet die kovariante Darstellung des  Metrischen Tensors um eine Indextransformation durchführen zu können (in dem Beispiel von oben nach unten).

Dabei wird die Einsteinsche Summationskonvention verwendet, über den Index k wird summiert.

Entsprechend lassen sich Indizes von unten nach oben transformieren:

mit der kontravarianten Darstellung des Metrischen Tensors, über den Index k wird summiert.

Generell wird in der Relativitätstheorie der Metrischer Tensor für solche Indextransformationen verwendet.

Da Element eines Vektorraumes ist, ist ein Element des zugehörigen Dualraumes, d.h. ist ein Skalarprodukt.

Durch die kontravariante und kovariante Schreibweise werden Darstellungen in der Form (x,y,z,ict) mit der imaginären Einheit i vermieden, wie sie früher gebräuchlich waren und auch heute noch in manchen Lehrbüchern verwendet werden.

Darüberhinaus ermöglicht ihre Verwendung in der Speziellen Relativitätstheorie den direkten Übergang auf den Allgemeinen Fall.

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