Formales System (Mathematik)
Die Mathematik bedient sich seit jeher formaler Systeme. Die elementare Algebra, wie man sie in der Schule lernt, ist ein solches System. Sie bedient sich der Zahlen, Rechenzeichen für Addition, Subtraktion usw. und der Buchstaben für Unbekannte. Die Rechenregeln sind die Umformungsregeln, die mechanisch angewendet werden können, wenn man sie einmal eingesehen hat. Beispielsweise kann man
- Algebraregel1:
- Jeder beliebige Ausdruck a kann um Null vermehrt werden, ohne das Ergebnis zu ändern.
- Hat man einen Ausdruck a, so kann man die Symbolkette +0 anfügen oder entfernen, ohne das Ergebnis zu ändern. (Anmerkung: unter Beachtung der Klammerregeln).
Formale Prädikatenlogik
Ein klassisches Beispiel für ein Axiomensystem in der Mathematik ist die Gruppentheorie. Eine Gruppe lässt sich über einer Menge und einer zugehörigen (Rechen-)Operation bilden. Mathematische Sätze lassen sich allein aus den vier Axiomen der Gruppe gewinnen. Die Sätze gelten dann für alle Mengen mit zugehöriger Operation, deren Eigenschaften sich auf die Gruppenaxiome abbilden lassen.Symbole sind die Elemente der Menge und das Operatorsymbol. Mit Hilfe der Prädikatenlogik lassen sich Axiome und Sätze formal darstellen und beweisen. Die Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik um
- Prädikatenlogik-Symbol1: für alle a gilt:
- Prädikatenlogik-Symbol2: es existiert (mindestens ein) b, so dass
nicht. Verneinung einer Aussage ist genau dann wahr, wenn A falsch ist, und umgekehrt. | |
und. Die Gesamtaussage ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind. | |
oder. Die Gesamtaussage ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B oder beide wahr sind. |
a, b, c, ... sind Platzhalter für die Elemente der vorgegebenen Menge, das Operatorsymbol. Die Operation wird im Folgenden Multiplikation genannt, obwohl jede beliebige Rechenoperation gemeint sein kann. Dann kann man die Axiome der Gruppentheorie formal so darstellen:
Formales Axiom | Beschreibung |
---|---|
Für alle a und b gibt es ein c\, so dass a mit b multipliziert c ergibt. | |
Wird das Ergebnis der Multiplikation von a und b anschließend multipliziert mit c, so erhält man dasselbe wie wenn zunächst b mit c und danach a mit dem Ergebnis multipliziert. Dies gilt für alle a, b, c. | |
Es existiert ein e, so dass für jedes b gilt: die Multiplikation von e mit b ergibt stets b, ebenso die Multiplikation von b mit e. e heißt neutrales Element. | |
Für jedes a gibt es ein b, das mit diesem zusammen multipliziert das neutrale Element ergibt. |
Aus den Umwandlungsregeln der Prädikatenlogik lassen sich aus diesen Axiomen die Sätze der Gruppentheorie rein formal ableiten. Eine solche Regel ist z.B.
- Prädikatenlogikregel1:
- Prädikatenlogikregel1: Wenn kein Element a existiert, so dass die Aussage B erfüllt ist, so ist dies gleichbedeutend damit, dass für alle a die Aussage B'' nicht gilt.