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formales system mathematik

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Formales System (Mathematik)

Die Mathematik bedient sich seit jeher formaler Systeme. Die elementare Algebra, wie man sie in der Schule lernt, ist ein solches System. Sie bedient sich der Zahlen, Rechenzeichen für Addition, Subtraktion usw. und der Buchstaben für Unbekannte. Die Rechenregeln sind die Umformungsregeln, die mechanisch angewendet werden können, wenn man sie einmal eingesehen hat. Beispielsweise kann man

Algebraregel1:

interpretieren als:

Jeder beliebige Ausdruck a kann um Null vermehrt werden, ohne das Ergebnis zu ändern.

Eine mechanische Regel könnte dann lauten:

Hat man einen Ausdruck a, so kann man die Symbolkette +0 anfügen oder entfernen, ohne das Ergebnis zu ändern. (Anmerkung: unter Beachtung der Klammerregeln).

Formale Prädikatenlogik

Ein klassisches Beispiel für ein Axiomensystem in der Mathematik ist die Gruppentheorie. Eine Gruppe lässt sich über einer Menge und einer zugehörigen (Rechen-)Operation bilden. Mathematische Sätze lassen sich allein aus den vier Axiomen der Gruppe gewinnen. Die Sätze gelten dann für alle Mengen mit zugehöriger Operation, deren Eigenschaften sich auf die Gruppenaxiome abbilden lassen.

Symbole sind die Elemente der Menge und das Operatorsymbol. Mit Hilfe der Prädikatenlogik lassen sich Axiome und Sätze formal darstellen und beweisen. Die Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik um

Prädikatenlogik-Symbol1: für alle a gilt:
Prädikatenlogik-Symbol2: es existiert (mindestens ein) b, so dass

Daneben werden die Symbole der Aussagenlogik verwendet:

nicht. Verneinung einer Aussage ist genau dann wahr, wenn A falsch ist, und umgekehrt.
und. Die Gesamtaussage ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
oder. Die Gesamtaussage ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B oder beide wahr sind.

a, b, c, ... sind Platzhalter für die Elemente der vorgegebenen Menge, das Operatorsymbol. Die Operation wird im Folgenden Multiplikation genannt, obwohl jede beliebige Rechenoperation gemeint sein kann. Dann kann man die Axiome der Gruppentheorie formal so darstellen:

Formales Axiom Beschreibung
Für alle a und b gibt es ein c\, so dass a mit b multipliziert c ergibt.
Wird das Ergebnis der Multiplikation von a und b anschließend multipliziert mit c, so erhält man dasselbe wie wenn zunächst b mit c und danach a mit dem Ergebnis multipliziert. Dies gilt für alle a, b, c.
Es existiert ein e, so dass für jedes b gilt: die Multiplikation von e mit b ergibt stets b, ebenso die Multiplikation von b mit e. e heißt neutrales Element.
Für jedes a gibt es ein b, das mit diesem zusammen multipliziert das neutrale Element ergibt.
Darstellung der Axiome der Gruppentheorie mit Hilfe der Prädikatenlogik

Aus den Umwandlungsregeln der Prädikatenlogik lassen sich aus diesen Axiomen die Sätze der Gruppentheorie rein formal ableiten. Eine solche Regel ist z.B.

Prädikatenlogikregel1:

Hier die Übersetzung:

Prädikatenlogikregel1: Wenn kein Element a existiert, so dass die Aussage B erfüllt ist, so ist dies gleichbedeutend damit, dass für alle a die Aussage B'' nicht gilt.

Die dargestellte Prädikatenlogik heisst Prädikatenlogik erster Stufe. Sie erlaubt Aussagen der Form "Alle Objekte haben die Eigenschaft" bzw. "Mindestens ein Objekt hat die Eigenschaft ...", jedoch keine Aussagen der Form "Für die Eigenschaft gilt: ...". Dies ist Logiken höherer Stufe vorbehalten. Trotzdem erlaubt die Prädikatenlogik erster Stufe die Formalisierung der Mengenlehre und damit nahezu der gesamten Mathematik.

Literatur

  • David Hilbert, W. Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik. 6. Aufl., Springer 1972 ISBN 3540058435

Siehe auch: Formales System (Logik)

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