Mengenfilter
Ein wichtiger Spezialfall eines Filters sind Mengenfilter. Das sind Filter in der Potenzmenge einer Menge S, die durch die Teilmengenrelation halbgeordnet ist. Ein Filter F auf einer Menge S ist damit eine Menge von Teilmengen von S mit den folgenden Eigenschaften:
- S ist Element von F. (F ist nichtleer)
- Die leere Menge ist nicht Element von F. (F ist echt)
- Sind A und B Elemente von F, dann auch ihr Durchschnitt. (F ist abgeschlossen unter endliche Infima)
- Ist A ein Element von F und A ? B ? S, dann ist auch B in F. (F ist eine Oberhalbmenge)
Diese Definition stimmt mit der oben gegebenen für echte Filter in Verbänden überein, da die Potenzmenge von S einen Verband bildet.
Ein einfaches Beispiel eines Mengenfilters ist die Menge aller Teilmenge von S, die eine bestimmte Teilmenge C von S enthalten. Ein solcher Filter heißt der von C erzeugte Hauptfilter. Der Fréchet-Filter auf einer unendlichen Menge S besteht aus allen Teilmengen von S, die ein endliches Komplement haben.
Für jeden Filter F auf der Menge S definiert man die Funktion
Diese ist endlich additiv -- ein "Maß" in einem sehr allgemeinen Sinn.
Damit kann die Aussage
-
dahingehend interpretiert werden, dass die Bedingung ? "fast überall" gilt.
Diese "fast überall"-Interpretation des Enthaltenseins in einem Filter wird benutzt, um die Theorie von Ultraprodukten in der Modelltheorie zu motivieren, auch wenn sie in den eigentlichen Beweisen nicht verwendet wird.
Filter sind auch in der Topologie nützlich: Sie übernehmen dort die Rolle, die Folgen in metrischen Räumen haben. Die Menge aller Umgebungen eines Punktes x in einem topologischen Raum bildet einen Filter, den Umgebungsfilter von x. Ein Filter, der eine Obermenge des Umgebungsfilters von x ist, konvergiert gegen x. Beachte, dass in einem nicht-hausdorffschen Raum ein Filter gegen mehrere Punkte konvergieren kann.