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fibonacci folge

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Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen, den Fibonacci-Zahlen. Der Mathematiker Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa) entwickelte sie, um das Wachstum einer Population von Kaninchen zu beschreiben, und publizierte sie in seinem Buch "Liber Abaci" aus dem Jahre 1202.

Table of contents
1 Definition der Fibonacci-Folge
2 Modell einer Kaninchenpopulation
3 Formel von Binet
4 Näherungsformel für große n
5 Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt
6 Computerprogramm
7 Weblinks

Definition der Fibonacci-Folge

Die Folge ist rekursiv definiert durch:

Das bedeutet,
  • dass für die beiden ersten Zahlen der Wert Eins vorgegeben wird, und
  • dass sich jede weitere Zahl durch Summieren der beiden vorherigen ergibt.

Daraus ergibt sich die Folge zu

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...

Oft werden als Startwerte auch 0 und 1 verwendet. Es ergibt sich damit die um eine Stelle verschobene Fibonacci-Folge

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...

Modell einer Kaninchenpopulation

Fibonacci stieß auf diese Folge bei der einfachen mathematischen Modellierung des Wachstums einer Kaninchenpopulation nach folgender Vorschrift:

  1. Zu Beginn gibt es ein Kaninchenpaar.
  2. Jedes Kaninchen wird nach 2 Monaten gebärfähig.
  3. Jedes Kaninchenpaar bringt jeden Monat ein weiteres zur Welt.
  4. Kaninchen leben ewig.

Jeden Monat kommt zu der Anzahl der Paare, die im letzten Monat gelebt haben, die dazu, die im vorletzten gelebt haben, da diese sich nun vermehren. Das entspricht aber gerade der oben angegebenen Rekursionsformel.

Formel von Binet

Will man die Fibonacci-Zahl für ein großes n berechnen, so ist das mit dem angegebenen Bildungsgesetz recht umständlich, weil man zunächst alle vorhergehenden Fibonacci-Zahlen berechnen muss. Wünschenswert wäre deshalb eine geschlossene Formel, mit der man eine Fibonacci-Zahl direkt - ohne Kenntnis der vorhergehenden Zahlen - berechnen kann.

Tatsächlich hat der französische Mathematiker Jacques-Philippe-Marie Binet bereits 1843 eine solche geschlossene Darstellung angegeben:

Diese Formel ist bekannt als Formel von Binet.

Näherungsformel für große n

Für große Werte von n kann man den Ausdruck bn+1=-0,618033989 n+1 gegenüber dem Ausdruck an+1=1,618033989n+1 vernachlässigen. Dann erhält man die Näherungsformel

Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt

Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert sich der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder f(n+1)/f(n) dem Goldenen Schnitt an.

Dies kann man sehr einfach einsehen, wenn man die obige Näherungsformel für große n benutzt:

Computerprogramm

So sieht ein Basic-Programm aus, das die Fibonacci-Zahlen ausrechnet:

a = 0
b = 1
Print a
Print b
For i = 2 To 100
  x = a
  a = b
  b = x + b
  Print b
Next i

Dieses Programm gibt die Fibonacci-Zahlen F(0) bis F(100) aus.

Weblinks

  • Schulprojekt über Fibonacci-Zahlen in der Mathematik und der Umwelt
  • Sehr ausfühliche und verständliche Darstellung
  • Fibonacci-Zahlen bei Brettspielen
  • Ausführliche Seite auf Englisch
  • Weitere englische Seite mit Daten zu Leonardo Fibonacci
  • Freies und plattformunabhängiges Programm, u. a. zur unbegrenzten Berechnung von Fibonacci-Zahlen (mit Java-Quelltext)

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