Fibonacci-Folge
Die Fibonacci-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen, den Fibonacci-Zahlen. Der Mathematiker Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa) entwickelte sie, um das Wachstum einer Population von Kaninchen zu beschreiben, und publizierte sie in seinem Buch "Liber Abaci" aus dem Jahre 1202.
Die Folge ist rekursiv definiert durch:
Fibonacci stieß auf diese Folge bei der einfachen mathematischen Modellierung des Wachstums einer Kaninchenpopulation nach folgender Vorschrift:
Will man die Fibonacci-Zahl für ein großes n berechnen, so ist das mit dem angegebenen Bildungsgesetz recht umständlich, weil man zunächst alle vorhergehenden Fibonacci-Zahlen berechnen muss. Wünschenswert wäre deshalb eine geschlossene Formel, mit der man eine Fibonacci-Zahl direkt - ohne Kenntnis der vorhergehenden Zahlen - berechnen kann.
Tatsächlich hat der französische Mathematiker Jacques-Philippe-Marie Binet bereits 1843 eine solche geschlossene Darstellung angegeben:
Diese Formel ist bekannt als Formel von Binet.
Für große Werte von n kann man den Ausdruck bn+1=-0,618033989
n+1 gegenüber dem Ausdruck an+1=1,618033989n+1 vernachlässigen. Dann erhält man die Näherungsformel
Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert sich der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder f(n+1)/f(n) dem Goldenen Schnitt an.
Dies kann man sehr einfach einsehen, wenn man die obige Näherungsformel für große n benutzt:
Definition der Fibonacci-Folge
Das bedeutet,
Daraus ergibt sich die Folge zu
Oft werden als Startwerte auch 0 und 1 verwendet. Es ergibt sich damit die um eine Stelle verschobene Fibonacci-FolgeModell einer Kaninchenpopulation
Jeden Monat kommt zu der Anzahl der Paare, die im letzten Monat gelebt haben, die dazu, die im vorletzten gelebt haben, da diese sich nun vermehren. Das entspricht aber gerade der oben angegebenen Rekursionsformel.Formel von Binet
Näherungsformel für große n
Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt