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distribution mathematik

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dn do dp dq dr ds dt du dv dw dx dy dz

Distribution (Mathematik)

Eine Distribution ist ein Verallgemeinerung einer reellwertigen Funktion. Definiert wird eine Distribution als stetiges lineares Funktional auf einem Raum von Testfunktionen.

Als Raum von Testfunktionen verwendet man meistens den Raum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger in einem Gebiet . Mit einem geeigneten Stetigkeitsbegriff ergibt diese Definition einen lokal-konvexen Raum, den man mit

bezeichnet.

Eine Distribution auf bildet eine Funktion auf
auf eine reelle Zahl ab. 

Manchmal wird der Raum der schnell fallenden Funktionen als Testraum verwendet. Die dadurch definierten Distributionen nennt man temperierte Distributionen.

Beispiele

Jede integrierbare Funktion erzeugt eine Distribution durch die Abbildung

Eine integrierbare Funktion ist eindeutig (bis auf eine Nullmenge) durch die von ihr erzeugte Distribution festgelegt.
Allerdings ist nicht jede Distribution von dieser Form, das wichtigste Beispiel dieser Art ist die Delta-Distribution:

Entwickelt wurden Distributionen, um gewisse singuläre Objekte der Physik mathematisch behandeln zu können. Beispielsweise hat die räumliche Dichtefunktion eines Massenpunktes mit Einheitsmasse die Eigenschaft, dass sie fast überall verschwindet, außer einem Punkt, in dem sie unendlich wird. Zusätzlich soll das Integral über die Dichte den Wert 1 haben. Es gibt keine reelle Funktion, die diese Eigenschaften der Dichte erfüllt, wenn man aber das Integral als Funktional auffasst, kann man die Dichte als Delta-Distribution beschreiben.

Distributionen sind heutzutage ein unentbehrliches Mittel in vielen Gebieten der Mathematik und Physik, zum Beispiel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen sowie der Fourieranalyse.

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