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differenzialrechnung

Differenzialrechnung

Der Differenzialrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie ist eines der zwei Hauptgebiete der Analysis. Sie untersucht das Verhalten von mathematischen Funktionen bzw. deren Kurven oder Oberflächen. Begriffe wie Steigung oder Krümmung werden definiert.

Erfunden wurde die Differenzialrechnung (unabhängig von einander) von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz, die von unterschiedlichen Problemstellungen ausgingen.

Leibniz ging von einem geometrischen Problem aus, dem Tangentenproblem: Er wollte eine Gerade an eine Kurve legen, die diese in einer kleinen Umgebung möglichst gut annähert.

Newtons Ansatzpunkt war das physikalische Problem der Momentangeschwindigkeit: Es soll zu einer ungleichförmigen Bewegung zu einem gegebenen Zeitpunkt eine gleichförmige Bewegung gefunden werden, die sie in einem kleinen Zeitintervall möglichst gut annähert.

Beide Problemstellungen lassen sich zurückführen auf das Suchen der Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt einer stetigen Funktion.

Differenzierbarkeit

Die Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x₀ falls der Grenzwert

existiert. Man nennt ihn den Differentialquotienten. Eine Funktion ist genau dann differenzierbar wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. In einfachen Worten bedeutet das, dass f genau dann differenzierbar ist wenn an jedem Punkt des Graphen von f genau eine Tangente existiert.

Differenzialquotient

Die Steigung einer Geraden zwischen zwei Punkten des Graphensens einer Funktion f(x) (Sekante) ist der Differenzenquotient

Lässt man nun die beiden Punkte immer näher zusammen wandern und bildet den Grenzwert, so wird die Sekante zur Tangente und man erhält den Differenzialquotienten:

Newtons Ansatz führt zu dem gleichen Ergebnis: Wenn f(t) den in der Zeit t zurückgelegten Weg angibt, so ist die mittlere Geschwindigkeit:

bildet man nun wieder den Grenzwert für ?t nach 0 ergibt sich die Momentangeschwindigkeit:

Die Terme dx und dy beziehungsweise ds und dt heißen Differenzialee; ein Differential ist auch in der üblichen Notation eines Integrals enthalten.

Ableitungsfunktion

Die Funktion der Differenzialquotienten an allen Stellen von f nennt man die Ableitungsfunktion f ' - oder kurz Ableitung - von f. f ' (x₀) nennt man die Ableitung von f an der Stelle x₀. Sie entspricht der Steigung des Graphen der Funktion an der Stelle x₀.

Ist die Ableitung stetig, dann heißt f stetig differenzierbar.

Beispiele

Beispiel für das Bestimmen einer Ableitungsfunktion

Gesucht ist die Ableitung der Funktion mit der Gleichung

Dann ist

und daher

Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion

f(x) = |x| ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar, denn es gilt:

Wenn x > 0 gilt f(x)= x und damit

und wenn x < 0 gilt f(x) = -x und damit

Da der linkseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen existiert kein allgemeiner Grenzwert und f ist nicht differenzierbar.

Sieht man den Graph von f, so könnte man sagen, dass f genau dann differenzierbar ist, wenn er keine "Knicke" enthält.

Beispiel für eine nicht stetig differenzierbare Funktion

Beachte: Selbst wenn f überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein.

Zum Beispiel ist die Funktion

in jedem Punkt differenzierbar, aber die Ableitung

ist im Punkt 0 nicht stetig.

Ableitungsregeln

Seien f, g und h (im Definitionsbereich) differenzierbare, reelle Funktionen, n und a reelle Zahlen, dann gilt:

konstante Funktion: (a)' = 0
Potenzregel: (xⁿ)' = nx^n-1, falls n ? 0
Summenregel: (g+h)' = g' + h '
Differenzregel: (g-h)' = g' - h'
Faktorregel: (a·f)' = a·f '
Produktregel: (g·h)' = g' h + h' g
Quotientenregel:
Kettenregel: (g(h(x)))' = g '(h(x))·h'(x)
Umkehrregel: Ist f eine, an der Stelle x₀ differenzierbare, bijektive Funktion mit f '(x₀)?0, und ihre Umkehrfunktion f^-1 bei f(x₀) differenzierbar, dann gilt:

(Spiegelt man einen Punkt P des Graphen von f an der 1. Mediane und erhält damit P* auf f^-1, so ist die Steigung von f^-1 in P* der Kehrwert der Steigung von f in P)

Die Ableitungen einiger elementarer Funktionen sind in der Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen angegeben.

Mehrfache Ableitungen, Glattheit

Ist die Ableitung einer Funktion f wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von f als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte, etc. Ableitungen definiert werden.

Eine unendlich oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Jede analytische Funktion ist glatt, aber nicht umgekehrt, wie das im Artikel Taylorreihe gegebene Beispiel einer nicht analytischen glatten Funktion zeigt.

Anwendung bei der Kurvendiskussion

Bei der Untersuchung eines Funktionsgraphen auf seine Eigenschaften (Kurvendiskussion) spielen die Ableitungsfunktionen eine entscheidende Rolle, da sie die Steigung des Graphen beschreiben. Dies sei am Beispiel der Funktion mit der Gleichung

erläutert. Die Abbildung zeigt den Verlauf von f(x), f '(x) und f ''(x).

Waagerechte Tangenten

Eine Steigung 0, d.h. f '(x)=0, kennzeichnet eine waagerechte Tangente bei f(x). Dies kann einen Hochpunkt (lokales Maximum), einen Tiefpunkt (lokales Minimum) oder einen Sattelpunkt bedeuten. Im Beispiel ist

f '(x) wird 0 bei x=1 und x=3.

Die zweite Ableitung f ''(x) beschreibt die Steigung von f '(x), also die Änderung der Steigung von f(x). Ist f ''(x)>0, so ändert sich f '(x) von negativen zu positiven Werten, also liegt ein Tiefpunkt von f(x) vor. Im Falle f ''(x)<0 ändert sich die Steigung vom positiven zu negativen Werten, das bedeutet eine Hochpunkt von f(x). Im Beispiel ist f ''(1) = -2 und f ''(3) = 2.