Differenzengleichung
Eine Differenzengleichung (DzGl), allgemein auch als Rekursionsgleichung bezeichnet, beschreibt im ingenieurwissenschaftlichen Sinne eine Rechenvorschrift zur Berechnung einer Ausgangsfolge respektive Ausgangssignal. Im Sinne der Zeitreihenanalyse lässt sich eine Differenzengleichung auch allgemeiner als Gleichung, mit der sich die Werte einer Zeitreihe berechnen lassen, die rekursiv zusammenhängen, definieren.
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2 Theorie 3 Zusammenhang Differenzengleichung und z-Transformation |
Anwendungsbeispiele aus der Zeitreihenanalyse sind die Tilgungsrate eines Annuitäten-Kredits (deterministischer Zusammenhang) oder der Bestand an Arbeitslosen (stochastischer Zusammenhang).
Diese DzGl beschreibt also, wie die Folge zum Zeitpunkt n berechnet werden muss.
Mit diesem Ansatz kommt man von der homogenen DzGl
auf die charakteristische Gleichung
Die verschiedenen Wurzeln der Gleichung ergeben dann die linear unabhängigen Lösungsfolgen und damit eine homogene Lösung.
Zum Beispiel:
Die Bestimmung geschieht hier analog zu DGlen.
Herkunft und Anwendung
Nach der Diskretisierung eines kontinuierlichen Signals kann aus der Folge keine Ableitung mehr berechnet werden, man muss sich hier des Differenzenquotienten bedienen. Sie ist im Grunde das zeitdiskrete Pendent zur Differentialgleichung und findet ihre Anwendung vor allem in der (z.B. im Zusammenhang mit dem Entwurf von Filtern).Theorie
Eine DzGl kann zum Beispiel folgendermaßen aussehen:Rechenregeln
Für lineare DzGlen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten gelten im allgemeinen die gleichen (oder sehr ähnliche) Regeln wie bei normalen DGLen. Insbesondere:
Somit kann also die Lösung prinzipiell immer noch genauso errechnet werden wie bei DGLen.homogene Lösung
Als Ansatz wird benutzt.
partikuläre Lösung
sei , und weiter als zwei einzelne Funktionen für a(z) und 1 :
Wird nun ausgeklammert: , ist schön zu erkennen, dass die Variablen a und "1" direkt mit rückübersetzt werden können:
Anmerkung: Der Deltastoss hat immer den Wert 0, ausser bei k=0. Dort geht er gegen unendlich. Formal beschrieben wird er über die Gleichung . Die rechte Seite tritt hier also als Teil der Anfangsbedingungen auf.Zusammenhang Differenzengleichung und z-Transformation
Die z-Transformation nimmt die gleiche Stellung für zeitdiskrete Signale (Folgen), wie die Laplacetransformation für den kontinuierlichen Zeitbereich.Vom z-Bildbereich zum Zeitdiskreten
Vom Zeitdiskreten in den z-Bildbereich
Es gibt hier viele Möglichkeiten: Durch Tabellen, Taylorreihenentwicklung, nichtabbrechende Division u.a.
mit Hilfe der Übertragungsfunktion
Ausdrücke in z können sehr einfach mit Hilfe einer Übertragungsfunktion der Variablen und eines Stosses (im Diskreten) in eine Differenzengleichung übersetzt werden. Ein Beispiel dazu: