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binomische formel

ba bb bc bd be bf bg bh bi bj bk bl bm
bn bo bp bq br bs bt bu bv bw bx by bz

Binomische Formel

Die Binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zur Darstellung und zum Lösen von Quadrat-Binomen. Sie werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern. Zum anderen erlauben sie die Term-Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte (das Faktorisieren), was bei der Vereinfachung von Bruchtermenen, beim Radizieren von Wurzeltermentermen sowie Logarithmenausdrausdrücken sehr oft die einzige Lösungsstrategie darstellt.

Table of contents
1 Formeln
2 Veranschaulichung
3 Weblinks

Formeln

1. Binomische Formel (Plus-Formel)
2. Binomische Formel (Minus-Formel)
3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)

Die Begründung der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen:

Diese Formeln, häufig in der Mathematik benutzt, bieten auch eine Hilfe beim Kopfrechnen. Das Quadrat einer Zahl zwischen 10 und 100 lässt sich oft einfach mit der binomischen Formel bestimmen. Beispielsweise ist
oder ausführlich

Binomische Formeln lassen sich auch für höhere Potenzen angeben, diese Verallgemeinerung ist der binomische Lehrsatz. Man benutzt dazu die Binomialkoeffizienten, die mittels des Pascalschen Dreiecks leicht zu bestimmen sind.

Veranschaulichung

Nebenstehendes mehrfarbiges Quadrat hat die Seitenlänge (a+b). Wie sofort ersichtlich ist, passen zwei kleinere Quadrate und hinein, und es bleiben zwei Rechtecke mit gleicher Fläche a·b übrig.
Im zweiten Bild ist das blau umrahmte Quadrat. Soll daraus ein Quadrat der Seitenlänge (a-b) erzeugt werden, wird zuerst die rot umrahmte Fläche a·b abgezogen. Eine ebenso große liegende Fläche kann erst abgezogen werden, wenn zuvor das kleine Quadrat addiert wird.
Im dritten Bild ist das hell- und dunkelblaue Quadrat. Wird das kleine Quadrat davon abgezogen und das verbleibende helle Rechteck gedreht unten angehängt, so entsteht ein Rechteck der Breite (a-b) und der Höhe (a+b). Fazit: Die Fläche dieses Rechtecks ist um den Betrag kleiner als die Fläche von .

Weblinks

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