Beschränktheit

Der Begriff der Beschränktheit tritt in verschiedenen Bereichen der Mathematik auf, in denen man einen Begriff der "Größe" hat. Die grundlegende intuitive Bedeutung aller dieser Begriffe ist, dass ein beschränktes Objekt eine endliche Größe hat und kleiner als ein anderes Objekt endlicher Größe ist (anderenfalls ist es unbeschränkt).

Table of contents

1 Analysis 2 Metrische Räume 3 Funktionalanalysis

Analysis

Eine Menge S reeller Zahlen heißt nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl k mit k > s für alle s aus S gibt. Die Zahl k heißt obere Schranke von S. Die Begriffe nach unten beschränkt und untere Schranke sind ähnlich definiert.

Eine Menge S heißt beschränkt, wenn sie nach oben beschränkt und nach unten beschränkt ist. Folglich ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall liegt.

Im Falle ihrer Existenz nennt man die kleinste obere Schranke das Supremum von S, die größte untere Schranke das Infimum.

Eine Funktion f : X -> R heißt beschränkt auf X, wenn ihre Bildmenge f(X) eine beschränkte Teilmenge von R ist.

Metrische Räume

Eine Menge S aus einem metrischen Raum (M, d) heißt beschränkt, wenn sie in einer Kugel mit endlichem Radius enthalten ist, d.h. wenn ein x aus M und r > 0 existieren, so dass für alle s aus S gilt: d(x, s) < r.

Funktionalanalysis

Eine Teilmenge S eines topologischen Vektorraums V heißt beschränkt, wenn sie in einem Vielfachen jeder Umgebung der 0 enthalten ist.

Ein Operator T: V -> W heißt beschränkt, falls eine Konstante c>0 existiert, so dass ||Tx|| ? c·||x|| für alle Vektoren x aus V (s.a. Norm). Jeder beschränkte lineare Operator ist stetig.