Asymptote

Asymptote ist eine Tangente in der Unendlichkeit.
In der Mathematik betrachtet man Asymptoten (altgriechisch: Nichtzusammenfallende) bei der Kurvendiskussion. Eine Asymptote der Funktion f: R -> R ist eine Gerade oder eine einfache Funktion, der sich die Funktion f beliebig annähert.

Man unterscheidet zwischen verschiedenen Typen von Asymptoten.

Hat f im Punkt t eine Polstelle, d.h. gilt

,

dann nennt man die Gerade g: x = t eine senkrechte (oder vertikale) Asymptote von f.

Konvergiert f für x->+? gegen eine reelle Zahl h, d.h. gilt

,

dann nennt man die Gerade g: y = h eine waagerechte (oder horizontale) Asymptote von f. Analoges gilt für den Grenzwert x->-?.

Ist p: R -> R ein Polynom, dem sich f beim Grenzübergang nach +? oder -? beliebig annähert, d.h. gilt

oder ,

dann nennt man p eine schräge Asymptote von f. Ist f = g/h eine rationale Funktion (mit Polynomen g und h), dann hat f stets eine schräge Asymtote. Sie ist das bei Polynomdivision von g durch h entstehende Polynom p. Der senkrechte Abstand zu p wird durch die echt gebrochenrationale Restfunktion angegeben, die dieselben senkrechten Asymptoten wie f hat und die waagerechte Asymptote y = 0.

Beispiele

Die Funktion

hat die senkrechte Asymptote g: x = 0 und die waagerechte Asymptote y = 0.

Die Funktion

hat die senkrechte Asymptote g: x = 1 und die schräge Asymptote p(x) = 1/5 · x².