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algebraisches element

Algebraisches Element

Die Begriffe algebraisches und transzendentes Element treten in der abstrakten Algebra auf und verallgemeinern das Konzept von algebraischen und transzendenten Zahlen auf beliebige Körpererweiterungen.

Ist L/K eine Körpererweiterung, dann heißt ein Element a von L algebraisch über K, wenn es ein Polynom mit Koeffizienten in K gibt, das a als Nullstelle hat. Ein Element, für das kein solches Polynom existiert, heißt transzendent über K.

Für die Erweiterung C/Q stimmen diese Begriffe mit denen der algebraischen bzw. transzendenten Zahl überein.

Table of contents

1 Beispiele
2 Eigenschaften
3 Minimalpolynom

Beispiele

Die Quadratwurzel von 2 ist algebraisch über Q, denn sie ist eine Nullstelle des Polynoms X²-2, dessen Koeffizienten rational sind.
? und e sind transzendent über Q, aber algebraisch über R.
Jedes Element a des Körpers K ist algebraisch über K, denn es ist Nullstelle von X-a.
Jede komplexe Zahl, die sich durch rationale Zahlen, die Grundrechenarten +,-,*,/ und Wurzelziehen (mit natürlichen Wurzelexponenten) bilden lässt, ist algebraisch über Q.
Aus der Galoistheorie folgt, dass es aber auch über Q algebraische Zahlen gibt, die sich nicht auf diese Weise darstellen lassen.
Über dem Körper Q_p der p-adischen Zahlen ist e (als Grenzwert der Reihe der reziproken Fakultäten) algebraisch, denn für p>2 ist e^p und für p=2 ist e⁴ in Q_p enthalten.

Eigenschaften

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent für ein Element a aus L (einem Oberkörper von K):

a ist algebraisch über K
die Körpererweiterung K(a)/K hat endlichen Grad, d.h. K(a) ist als K-Vektorraum endlichdimensional.
K[a] = K(a).

Dabei ist K[a] die Ringadjunktion von a an K, die aus allen Elemente von L besteht, die sich als g(a) mit einem Polynom g über K schreiben lassen; K(a) ist dessen Quotientenkörper in L und besteht aus allen Elementen von L, die sich als g(a)/h(a) mit Polynomen g und h über K (h(a) ungleich 0) schreiben lassen.

Diese Charakterisierung kann genutzt werden, um zu zeigen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von über K algebraischen Elementen wieder algebraisch über K sind. Die Menge aller über K algebraischen Elemente von L bildet einen Zwischenkörper der Erweiterung L/K, den so genannten algebraischen Abschluss in L.

Minimalpolynom

Ist a algebraisch über K, dann gibt es viele Polynome über K mit g(a)=0. Es gibt aber genau ein normiertes Polynom von kleinstem Grad mit Nullstelle a, dieses heißt das Minimalpolynom von a über K. Aus ihm kann man viele Eigenschaften von a ablesen. Zum Beispiel ist der Grad dieses Polynoms gleich dem Erweiterungsgrad von K(a)/K.

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