Abgeschlossene Menge
In dem Teilgebiet Topologie der Mathematik ist eine abgeschlossene Menge eine Teilmenge eines topologischen, metrischen oder euklidischen Raums X, deren Komplement X\\M eine offene Menge ist. Anschaulich ist eine Menge M abgeschlossen, wenn der Rand von M ganz zu M gehört. Das ist gleichbedeutend mit folgender Eigenschaft: Ist eine Folge von Elementen aus M, die in X konvergiert, dann liegt der Grenzwert in M.Ein einfaches Beispiel ist das Intervall [0, 1] in den reellen Zahlen. Das Komplement von [0, 1] ist die Vereinigung zweier offener Intervalle, also eine offene Menge, also ist [0, 1] eine abgeschlossene Menge. Deshalb nennt man das Intervall [0, 1] ein abgeschlossenes Intervall. Dagegen ist das Intervall (0, 1] nicht abgeschlossen, denn das Komplement ist nicht offen.
Ob eine Menge abgeschlossen ist oder nicht, hängt von dem Raum ab, in dem sie liegt. Die rationalen Zahlen bilden eine abgeschlossene Menge in den rationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen. Ein kompakter Hausdorff-Raum ist dagegen in jedem topologischen Oberraum abgeschlossen.
Beachte, dass der Begriff "offene Menge" nicht das Gegenteil von "abgeschlossene Menge" ist. Es gibt Mengen, die weder abgeschlossen noch offen sind, wie das Intervall (0, 1], und Mengen, die beides sind, wie die leere Menge. (Solche Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind werden als abgeschlossene offene Menge oder nach dem englischen Begriff als clopen Menge bezeichnet, seltener als abgeschloffen.)
Der Begriff der abgeschlossenen Menge lässt sich auf verschiedenen Abstraktionsstufen definieren. Wir betrachten hier den anschaulichen euklidischen Raum, den metrischen Raum und den topologischen Raum.
Table of contents |
2 Metrischer Raum 3 Topologischer Raum 4 Abgeschlossene Hülle |
Ist U eine Teilmenge des n-dimensionalen euklidischen Raums Rn, dann nennt man U abgeschlossen, falls gilt:
Beachte, dass das ? vom Punkt x abhängt, d.h. für verschiedene Punkte gibt es verschiedene ?. Anschaulich ist die Menge der Punkte, deren Abstand von x kleiner ist als ?, eine Kugel, und zwar nur das Innere ohne die Oberfläche. Man nennt sie deshalb auch eine offene Kugel. (Im R² ist diese Kugel das Innere eines Kreises.)
Die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem Punkt x kleiner oder gleich einer positiven Zahl r ist, ist auch eine Kugel, man nennt sie abgeschlossene Kugel, da sie die Definition einer abgeschlossenen Menge erfüllt.
Sei (X,d) ein metrischer Raum und U eine Teilmenge von X. Dann nennt man U abgeschlossen, wenn gilt:
In Analogie zum euklidischen Raum nennt man die Menge der Punkte y, deren Abstand d(x,y) zu x kleiner oder gleich ? ist, eine abgeschlossene Kugel. Formal schreibt man
Bei der abgeschlossenen Kugel wird der Rand bzw. die Hülle der Kugel mit einbezogen: Alle y der Grundmenge X die zum Mittelpunkt x einen Abstand haben, der kleiner oder gleich r ist, gehören zur Kugel. (Beachte die im Artikel normierter Raum gegebenen Beispiele, dass eine Kugel bezüglich einer Metrik nicht immer "kugelförmig" bzw. "kreisförmig" ist.)
Die Definition einer abgeschlossenen Menge läßt sich nun so schreiben:
Sei (X,d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Teilmenge U von X abgeschlossen, falls gilt:
Betrachtet man die reellen Zahlen R mit der üblichen euklidischen Metrik, so sind die folgenden Beispiele abgeschlossene Mengen:
Jede abgeschlossene Kugel ist eine abgeschlossene Menge. Der Beweis dazu wird veranschaulicht von nebenstehender Abbildung: Zum Punkt y2 außerhalb der abgeschlossenen Kugel (x, r) findet man ein ?2, nämlich ?2 = d(x, y2) - r, so dass B(y2, ?2) ganz außerhalb von (x, r) liegt. Analog sieht man an dieser Darstellung, dass jede offene Kugel offen ist.
Die Vereinigung von zwei abgeschlossenen Mengen ist wieder eine abgeschlossene Menge. Daraus kann man folgern, dass der Schnitt endlich vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist.
Die Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.Euklidischer Raum
Definition
Erläuterung
Metrischer Raum
Definition
Auch hier hängt die Wahl von ? von x ab.Abgeschlossene Kugel
und nennt diese Menge die abgeschlossene Kugel in X mit Mittelpunkt x und reellem Radius r>0.
Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition für euklidische Räume, denn jeder euklidische Raum ist ein metrischer Raum, und für euklidische Räume stimmen die Definitionen überein.Beispiele
Im R2 kann man sich abgeschlossene Mengen vorstellen als Mengen, bei denen man den Rand hinzugefügt hat.Eigenschaften
Abgeschlossene Kugeln sind abgeschlossene Mengen